A. BASİT YÜZDE PROBLEMLERİ

Yüzde problemleri; “temel sayı”, “yüzde oranı” ve “yüzde payı”ndan her hangi ikisinin verilip, üçüncüsünün sorulması esasına dayanır.

A nın % n si p olsun. Bu durumda,

A ya: Temel sayı

n ye: Yüzde oranı

p ye: yüzde payı adı verilir.

Bu problemler orantı yoluyla da çözülebilir.

Yüzde 15 ifadesi; % 15 biçiminde gösterilir.

% 15 ifadesi; biçiminde de gösterilir.

Bu problem tipindeki soruları çözerken aşağıdaki bilgileri bilmeniz sizlere kolaylık sağlayacaktır.

B. KÂR - ZARAR PROBLEMLERİ

Bu tip problemlerde aşağıdaki tablo, çözümde sizlere kolaylık sağlayacaktır.

Kâr Miktarı = Satış Fiyatı – Alış Fiyatı

Zarar Miktarı = Alış Fiyatı – Satış Fiyatı

Örnek 1

Bir sınıftaki öğrencilerin % 70 i kız, diğerleri erkektir. Erkek öğrencilerin % 40 ı 6 kişi ise, sınıftaki kız öğrenci sayısı kaçtır?

A) 15                   B) 35                   C) 40                   D) 45

Çözüm

Sınıfta % 70 kız, % 30 erkek olduğundan;

Cevap B

Örnek 2

Bir kırtasiyeci tanesini 500 000 liraya aldığı kalemin tanesini 700 000 liraya satıyor.

Bu satıştaki kârı yüzde kaçtır?

A) 24                   B) 30                   C) 35                   D) 40

Çözüm

700 000 – 500 000 = 200 000 lira (kâr)

Örnek

2 x 2 x 2 = 2³,

3 x 3 x 3 x 3 = 3⁴,

a x a x a = a³,

a x a x a x a = a⁴  gibi yazılabilirler.

A. TANIM

a bir gerçel (reel) sayı ve n bir sayma sayısı olmak üzere,

ifadesine üslü ifade denir.

k . aⁿ ifadesinde k ya kat sayı, a ya taban n ye üs denir.

B. ÜSLÜ İFADENİN ÖZELİKLERİ

  1.  a ¹ 0 ise, a⁰ = 1 dir.

  2.  0⁰ tanımsızdır.

  3.  n Î IR ise, 1ⁿ = 1 dir.

  4. 

  5.  (a^m)ⁿ = (aⁿ)^m = a^{m . n}

  6.  

  7.  

  8.  Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir.

  9.  Negatif sayıların; çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.

10.  n bir tam sayı ve a bir gerçel (reel) sayı olmak üzere,

a. (– a)²ⁿ = a²ⁿ ifadesi daima pozitiftir.

b. (– a²ⁿ) = – a²ⁿ ifadesi daima negatiftir.

c. (– a)^{2n + 1} = – a^{2n + 1} ifadesi

a pozitif ise negatif, a negatif ise pozitiftir.

11. 

12. 

C. ÜSLÜ SAYILARDA SIRALAMA

1 den büyük üslü doğal sayılarda sıralama yapılırken,

Tabanlar eşitse; üssü küçük olan daha küçüktür.

Üsler eşitse; tabanı küçük olan daha küçüktür.

D. ÜSLÜ İFADELERDE DÖRT İŞLEM

1.  x . aⁿ + y . aⁿ – z . aⁿ = (x + y – z) . aⁿ

2.  a^m . aⁿ = a^{m + n}

3.  a^m . b^m = (a . b)^m

4.  

5.  

E. ÜSLÜ DENKLEMLER

1.  a ¹ 0, a ¹ 1, a ¹ – 1 olmak üzere, a^x = a^y ise x = y dir.

2.  n, 1 den farklı bir tek sayı ve xⁿ = yⁿ ise, x = y dir.

3.  n, 0 dan farklı bir çift sayı ve xⁿ = yⁿ ise, x = y veya x = – y dir.

4. 

A. TANIM

a ve b tam sayı, b ¹ 0 olmak üzere, şeklinde ifade edilen sayılara rasyonel sayı veya kesir denir.

B. KESİR ÇEŞİTLERİ

İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir.

2. Bileşik Kesir

İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olmayan (büyük veya eşit olan) kesirlere bileşik kesir denir.

3. Tam Sayılı Kesir

Herhangi bir sayma sayısı ve basit kesir ile birlikte yazılabilen kesirlere tam sayılı kesir denir.

  birer tam sayılı kesirdir.

Her bileşik kesir bir tam sayılı kesir biçiminde yazılabilir.

C. RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER

2. Toplama - Çıkarma

Toplama ve çıkarma işleminde payda eşitlenecek biçimde kesirler genişletilir ya da sadeleştirilir. Oluşan kesirlerin payları toplanır (ya da çıkarılır) ortak payda alınır.

3. Çarpma - Bölme

D. ARADA OLMA

arasında sayılamıyacak çoklukta rasyonel sayı vardır. Bunlardan bazılarını bulmak

için b ile d nin e.k.o.k. u bulunur. Verilen kesirlerin paydaları bulunan e.k.o.k. ta eşitlenir. İstenen koşuldaki sayıyı bulmak için kesirler genişletilebilir.

, kesirlerinin ortasındaki bir sayı ise,

E. RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA

Pozitif kesirlerde sıralama yapılırken aşağıdaki yollardan biri kullanılır.

I. yol :

Paydaları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür.

II. yol :

Payları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden paydası en küçük olan diğerlerinden daha büyüktür.

III. yol :

Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, basit kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür.

Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, bileşik kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha küçüktür.

Yukarıda verilen yöntemler pozitif kesirlerde geçerlidir. Negatif kesirlerde ise durum tersinedir.

A. ORAN

Aynı cins ya da aynı birimle ölçülen iki çokluğun bölme yoluyla karşılaştırılmasına oran denir.

B. ORANTI

İki veya daha fazla oranın eşitliğine orantı denir.

gibi iki oran eşit olduğunda ye orantı denir.

• Orantının Özelikleri

 

a : I. terim, c : III. terim,

b : II. terim d : IV. terim

Bu orantıda d ye dördüncü orantılı denir.

1. b ve c ye içler, a ve d ye dışlar denir.

1. a . d = b . c (İçler ile dışlar çarpımı eşittir.)

2. (içler yer değiştirebilir.)

3.   (dışlar yer değiştirebilir.)

4. (oranlar ters çevrilebilir.)

5. (e ¹ 0, f ¹ 0) (oranlar sadeleştirilebilir.)

6. (e ¹ 0, f ¹ 0) (oranlar genişletilebilir.)

7. orantısı için, (k orantı sabitidir.)

C. GEOMETRİK ORTA

x, a ve b pozitif reel sayılar olmak üzere;

şartına uyan, x sayısı varsa, bu x sayısına a ile b nin geometrik ortası (orta orantılısı) denir.

D. ORANTI ÇEŞİTLERİ

1. Doğru Orantı

İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyor, biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu tür çokluklara doğru orantılı çokluklar denir. Doğru orantı kısaca, D.O. ile gösterilir.

2. Ters Orantı

İki çokluktan biri artarken, diğeri aynı oranda azalıyorsa ya da biri azalırken diğeri aynı oranda artıyorsa bu tür çokluklara ters orantılı çokluklar denir. Ters orantı kısaca, T.O. ile gösterilir.

3. Bileşik Orantı

Üç veya daha fazla orantıdan meydana gelen orantıya bileşik orantı denir.

• x, y ve z sırasıyla a, b ve c ile;

doğru orantılı ise,

ters orantılı ise, ax = by = cz  dir.

• x, y ile doğru, z ile ters orantılı ise,

• Doğru, ters ve bileşik orantı ile ilgili işçi tarzındaki sorularda pratik olarak şu yol takip edilebilir;

I. DOĞAL SAYILAR

A. TANIMLAR

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere denir.

Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine denir.

abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.

Sayma Sayıları

S = {1, 2, 3, 4, ... , n , ...} kümesinin her bir elemanına sayma sayısı denir.

Doğal Sayılar

N ={0, 1, 2, 3, 4, ... , n , ...} kümesinin her bir elemanına doğal sayı denir.

Roma Rakamları

B. DOĞAL SAYILARDA ARADA OLMA

İki doğal sayı arasında bulunan doğal sayıların adedi, bu iki sayının farkından 1 eksiktir.

C. SAYI BASAMAĞI

Bir sayıyı oluşturan rakamlardan her birine bu sayının basamağı denir.

Bir doğal sayıda kaç tane rakam varsa sayı o kadar basamaklıdır. 243 üç basamaklı bir sayıdır.

D. ÇÖZÜMLEME

Doğal sayıyı oluşturan rakamların bulunduğu yerdeki değerine basamak değeri, rakamların sayıda bulundukları basamaklar göz önüne alınmadan aldıkları değerlere sayı değeri denir.

Basamak değerlerinin toplamı şeklinde gösterilişine o sayının çözümlenmiş biçimi denir.

• ab = 10 . a + b

• abc = 100 . a + 10 . b + c

• aaa = 111 . a

• ab + ba = 11 . (a + b)

• ab – ba = 9 . (a – b)

• abc – cba = 99 . (a – c)

II. TAM SAYILAR

A. TANIMLAR

Z = {... , – n , ... – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, ... , n , ...} kümesinin her bir elemanına tam sayı denir.

Tam sayılar kümesi; negatif tam sayılar kümesi : Z ^– , pozitif tam sayılar kümesi : Z⁺ ve sıfırı eleman kabul eden : {0} kümenin birleşim kümesidir.

Buna göre, Z = Z ^– È Z⁺ È {0} dır.

B. POZİTİF SAYILAR, NEGATİF SAYILAR

Sıfırdan büyük her reel (gerçel) sayıya pozitif sayı, sıfırdan küçük her reel (gerçel) sayıya negatif sayı denir.

a < b < 0 < c < d olmak üzere,

• a, b negatif sayılardır.

• c, d pozitif sayılardır.

• İki pozitif sayının toplamı pozitiftir. (c + d > 0)

• İki negatif sayının toplamı negatiftir. (a + b < 0)

• Çıkarma işleminde eksilen çıkandan büyük ise sonuç (fark) pozitif, eksilen çıkandan küçük ise fark negatif olur.

m – n ifadesinde m eksilen, n çıkandır.

• Zıt işaretli iki sayıyı toplamak için; işaretine bakılmaksızın büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır ve büyük sayının işareti sonuca verilir.

• Aynı işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) pozitiftir.

• Zıt işaretli iki sayının toplamı; negatif, pozitif veya sıfırdır.

• Zıt işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) negatiftir.

• Pozitif sayının bütün kuvvetleri pozitiftir.

• Negatif sayının tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir.

• Bir tam sayının + 1 e bölümü o sayının kendisine eşittir.

• Bir tam sayının – 1 e bölümü o sayının toplamaya göre tersine eşittir.

• Sıfırın sıfırdan farklı bir tam sayıya bölümü sıfırdır.

• Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.

C. MUTLAK DEĞER

Sayı doğrusu üzerinde x reel (gerçek) sayısının başlangıç noktasına (orijine) olan uzaklığına x in mutlak değeri denir.

|x| biçiminde gösterilir.

Bütün x gerçel (reel) sayıları için, |x| ³ 0 dır.

D. ÇİFT VE TEK SAYILAR

1. Çift Sayı

n Î Z olmak koşuluyla 2n ifadesi ile belirtilen tam sayılara çift sayı denir.

Ç = {... , – 2n , ... , – 4, – 2, 0, 2, 4, ... , 2n , ...}

biçiminde gösterilir.

2. Tek Sayı

n Î Z olmak koşuluyla 2n – 1 ifadesi ile belirtilen tam sayılara tek sayı denir.

T = {... , – (2n – 1), ... , – 3, – 1, 1, 3, ... , (2n – 1), ...} biçiminde gösterilir.

T : Tek sayı

Ç : Çift sayıyı göstersin.

Bölme işlemi için yukarıdaki biçimde bir genelleme yapılamaz.

• Tek sayılar ve çift sayılar tam sayılardan oluşur.

• Hem tek hem de çift olan bir sayı yoktur.

• Sıfır (0) çift sayıdır.

E. ARDIŞIK SAYILAR

Belirli bir kurala göre art arda gelen sayı dizilerine ardışık sayılar denir.

n bir tam sayı olmak üzere,

• Ardışık dört tam sayı sırasıyla;

n, n + 1, n + 2, n + 3 tür.

• Ardışık dört çift sayı sırasıyla;

2n, 2n + 2, 2n + 4, 2n + 6 dır.

• Ardışık dört tek sayı sırasıyla;

2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7 dir.

• Üçün katı olan ardışık dört tam sayı sırasıyla;

3n, 3n + 3, 3n + 6, 3n + 9 dur.

F. İŞLEM ÖNCELİĞİ

Toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma işlemlerinden bir kaçının birlikte bulunduğu rasyonel sayılarda işlemler, aşağıdaki sıraya göre yapılır.

1. Parantezler ve kesir çizgisi işleme yön verir.

2. Üslü işlemler varsa sonuçlandırılır.

3. Çarpma - bölme yapılır.

4. Toplama - çıkarma yapılır.

Toplama ile çıkarma ve çarpma ile bölme kendi arasında öncelik taşımaz. Özellikle çarpma ile bölmede öncelik söz konusu ise bu, parantezle belirlenir.

I. BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

A. TANIM

a ve b gerçek (reel) sayılar ve a ¹ 0 olmak üzere,

ax + b = 0 eşitliğine birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Bu denklemi sağlayan x değerine denklemin kökü, denklemin kökünün oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi denir.

B. EŞİTLİĞİN ÖZELİKLERİ

  1.

  2. a = b ise, a . c = b . c dir.

  3. a = b ise,

  4. a = b ise, aⁿ = bⁿ dir.

  5. (a = b ve b = c) ise, a = c dir.

  6. (a = b ve c = d) ise,

  7. (a = b ve c = d) ise, a . c = b . d dir.

  8. (a = b ve c = d)  ise, 

  9. a . b = 0 ise, (a = 0 veya b = 0) dır.

10. a . b ¹ 0 ise, (a ¹ 0 ve b ¹ 0) dır.

11.  ise, (a = 0 ve b ¹ 0) dır.

C. ax + b = 0 DENKLEMİNİN ÇÖZÜM KÜMESİ

1. a ¹ 0 olmak üzere,

1. (a = 0 ve b = 0) ise, ax + b = 0 denklemini bütün sayılar sağlar. Buna göre, reel (gerçel) sayılarda çözüm kümesi IR dir.

2. (a = 0 ve b ¹ 0) ise, ax + b = 0 denklemini sağlayan hiçbir sayı yoktur.
   Yani, Ç = Æ dir.

II. BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

A. TANIM

a, b, c Î R, a ¹ 0 ve b ¹ 0 olmak üzere,

ax + by + c = 0 denklemine birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.

Bu denklem düzlemde bir doğru belirtir. Doğru üzerindeki bütün noktaların oluşturduğu ikililer denklemin çözüm kümesidir.

Buna göre, ax + by + c = 0 denkleminin çözüm kümesi birçok ikiliden oluşur.

Birden fazla iki bilinmeyenli denklemden oluşan sisteme denklem sistemi denir.

B. ÇÖZÜM KÜMESİNİN BULUNMASI

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm kümesi; yok etme yöntemi, yerine koyma yöntemi, karşılaştırma yöntemi gibi yöntemlerden biri ile yapılır.

1. Yok Etme Yöntemi

Değişkenlerden biri yok edilecek biçimde verilen denklem sistemi düzenlenir ve taraf tarafa toplanır.

Taraf tarafa toplandığında veya çıkarıldığında (ya da bir düzenlemeden sonra) değişkenlerden biri sadeleşiyorsa “Yok etme yöntemi” kolaylık sağlar.

2. Yerine Koyma Yöntemi

Verilen denklemlerin birinden, değişkenlerden biri çekilip diğer denklemde yerine yazılarak sonuca gidilir.

Denklemlerin birinden, değişkenlerden biri kolayca çekilebiliyorsa, “Yerine koyma yöntemi” kolaylık sağlar.

3. Karşılaştırma Yöntemi

Verilen denklemlerin ikisinden de aynı değişken çekilir. Denklemlerin diğer tarafları karşılaştırılır (eşitlenir).

Her iki denklemden de aynı değişken kolayca çekilebiliyorsa, “Karşılaştırma yöntemi” kolaylık sağlar.